El número de oro en la música: en busca de la canción perfecta

Gong con clave recortada

Una de las principales preocupaciones de los compositores en el momento de enfrentarse a una nueva composición es conseguir que la futura obra posea una estructura equilibrada y armoniosa. De cómo se presenten y organicen las ideas musicales en la pieza dependerá en gran medida el éxito o fracaso de la misma.

Como es lógico, existen multitud de procedimientos para crear formas musicales interesantes (la estructura estrofa-estribillo-estrofa-estribillo por ejemplo es la más utilizada para componer canciones). Pero, de todas las posibilidades que existen para hacer que la música tenga una estructura sólida y coherente, una de las más curiosas es la que consiste en aplicar una famosa proporción geométrica, y su expresión numérica, como fórmula para conseguir la forma perfecta: la sección áurea.

Recordando la definición de sección áurea

En geometría la sección áurea, del latín sectio aurea, es la proporción que aparece al dividir una recta en dos segmentos a y b (a más largo que b) por un punto f, de manera que el segmento mayor a es a b lo que la longitud total de la recta (a+b) es a a:

Sección aurea con f

Tan solo existe un punto f que haga posible esta relación entre los segmentos y que verifique la proporción: 

aurea quebrados

Este punto f es lo que se conoce como el número de oro, designado como Φ, Phi (se lee fi), en griego. El número de oro es un número irracional de periodo infinito cuyo valor se calcula despejando la ecuación de segundo grado que podéis ver a continuación:

aurea ecuación

Pues bien, la proporción expresada por el número de oro y su representación geométrica, la sección áurea, es considerada desde tiempos inmemoriales como la máxima expresión de la belleza y la perfección. Su hallazgo se remonta a la antigüedad -aparece recogido el Los elementos de Euclídes- y podemos encontrala aplicada en múltiples disciplinas como la escultura, la pintura, la arquitectura, la construcción de instrumentos e incluso reflejada en la naturaleza.

Una “receta de éxito” como esta no podía pasar desapercibida para los compositores, de ahí que podamos encontrar multitud de ejemplos de obras musicales que han utilizado la proporción dorada como base para su construcción.

La forma más habitual de aplicar la sección áurea a una pieza musical es la de buscar un punto culminante, de máxima tensión, o un fuerte contraste, rítmico, melódico o armónico, justo en el punto en el que se situaría el número áureo con respecto a la duración total de la pieza. De esta manera, si por ejemplo tenemos una obra que dura 4 minutos (240 segundos) y sabemos que la sección más larga debe corresponder al 61,8% de la duración total – el 38,2% restante es para la sección más corta-, el punto Phi lo podemos calcular de la siguiente forma: 240×0,618=148,32. Por tanto, el momento culminante quedaría en el minuto 2 y 47 segundos.

Evidentemente, conseguir que la música se ajuste con exactitud a la sección áurea no es sencillo y en la mayoría de los casos lo que se busca es una aproximación a esta proporción. También podemos encontrar ejemplos de piezas que respondan a la idea de sección áurea sin que el compositor lo haya buscado de una manera consciente.

Muy bien, y entonces, ¿en qué obras podemos encontrar esta “divina” proporción? Veamos algunos ejemplos:

Mozart: sonata para piano nº 1 en Do mayor, primer movimiento

Si la música de Mozart es ya de por sí un ejemplo de música equilibrada y elegante sin la necesidad de recurrir a fórmulas mágicas, el matemático John F. Putz ha descubierto que, en el primer movimiento de la sonata nº1 en Do mayor K.279, la sección áurea está presente de la siguiente manera: el movimiento consta de 100 compases y se divide en dos secciones; la primera sección (la que corresponde a la exposición) dura exactamente 38 compases y la segunda sección (desarrollo y reexposición) dura 62. ¿Os resulta familiar?

Beethoven: primer movimiento de la sinfonía nº 5

Otro matemático, Dereck Haylock, ha estudiado el lugar en el que se producen las principales apariciones del famoso motivo (ta,ta,ta,taaan) en el primer movimiento de la quinta sinfonía de Beethoven. Según sus investigaciones, de los 600 compases que consta el movimiento (sin incluir la coda) el motivo reaparece en su forma original en los compases 228 y 372. Estos números, con respecto a los 600 compases del total, están muy próximos a Phi.

Bela Bartok, primer movimiento de la música para cuerdas, percusión y celesta

Si en los ejemplos anteriores no podemos asegurar a ciencia cierta que Mozart y Beethoven utilizaran de manera consciente la sección áurea (aunque en el caso de Mozart es muy probable), en Bartok sí que podemos afirmar que conocía y empleaba recursos matemáticos para sus composiciones. Bartok usaba la serie de Fibonacci y la proporción áurea para crear estructuras formales y elaborar otros elementos presentes en su música como ritmos, acordes y motivos melódicos.

En el primer movimiento de su Música para cuerdas, percusión y celesta, Bartok compone una fuga que consta de 88 compases alcanzando el punto culminante en el compás 55. Si dividimos ochenta y ocho entre cincuenta y cinco obtenemos: 88/55= 1,6, ¡el número áureo!

En el siguiente vídeo, podéis escuchar esta fascinante pieza cuyo segundo movimiento se ha hecho mundialmente famoso como música de terror al aparecer en la banda sonora de la película El resplandor de Stanley Kubrick.

No me gustaría finalizar el artículo sin mencionar a dos bandas de rock, Tool (en Lateralus) y Radiohead (en In Rainbows) que también han coqueteado con el número de oro en su música y que, quizás por ello, han llegado a aproximarse bastante al ideal de la canción perfecta.

¡Hasta el próximo artículo!

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